1數(shù)學模型的建立
手動螺旋千斤頂主要包括底座、棘輪、圓錐齒輪副、托杯、傳動螺紋副等部分。千斤頂zui大起重量是其zui主要的性能指標之一。千斤頂在工作過程中，傳動螺紋副承受主要的工作載荷，螺紋副工作壽命決定千斤頂使用壽命，故傳動螺紋副的設計zui為關鍵，其設計與zui大起重量、螺紋副材料、螺紋牙型以及螺紋頭數(shù)等都有關系。
1.1目標函數(shù)與設計變量
手動螺旋千斤頂在滿足設計性能和要求的前提下，從結(jié)構緊湊、減輕重量、節(jié)省材料和降低成本考慮。在給出千斤頂zui大起重量、傳動螺紋副材料及其屈服應力、螺紋頭數(shù)等基本設計要求和圓錐齒輪副等已定的情況下，可從螺紋副設計著手考慮，使螺紋副所用材料zui少，即在滿足設計性能的情況下，傳動螺桿、螺母所占體積zui少。
螺桿的體積為：v1=πd22l/2
螺母的體積為：v2=π（ｄ′2-d22）h/4
式中：d2——螺桿中徑，mm；
d′——螺母外徑（虛擬），mm；
d2——螺母中徑，mm；
l——螺桿總長，mm；
h——螺母高度，mm.
考慮到傳動效率要求較高和螺紋受力較大等因素，千斤頂一般采用鋸齒形螺紋傳動，其大徑、中徑、小徑之間有如下關系：
d2=d－0.75p
d1=d－1.736p
且內(nèi)、外螺紋有如下關系：d＝d;d2=d2;
式中，d2、d2為內(nèi)、外螺紋中徑；p為螺距;ｄ、ｄ為內(nèi)、外螺紋大徑；ｄ1為內(nèi)螺紋小徑。
則目標函數(shù)（即傳動螺紋副體積之和）為：
v=v1+v2=πl（d-0.75p）2-/4+π［d′2--（d-0.75p）2-］h/4
從目標函數(shù)表達式中可以看出，ｌ、ｄ′均為常量，而螺距p取值雖為整數(shù)，但其取值隨螺紋公稱直徑而變化，這里將其作為變量。故變量有ｄ、ｈ、p三個，記作：
x=［x1,x2，x3］t=［d,h，p］t
目標函數(shù)表達式為：
v（x）=πl（x1-0.75x3）3/4+π［d′2-（x1-0.75x3）2］x2/4
1.2優(yōu)化約束條件
1.2.1約束條件分析
（1）耐磨性條件
鋸齒形螺紋工作高度h：h=0.75p
根據(jù)手動螺旋千斤頂傳動螺紋副滑動速度較低，及螺母和螺桿材料等條件，查取許用比壓［p］：
計算比壓為：p=fp/[（d-0.75p）πhh]＜［p］
（2）螺紋的自鎖條件
螺旋升角ψ：ψ=arctanp/πd2=arctanp/[π（d-0.75p）]
當量摩擦角ρv=arctanuv，uv為螺紋副當量摩擦系數(shù)。
自鎖條件為：ψ＜ρv－（1°～1.5°）,即
arctanp/[π（d-0.75p）]＜ρv－（1°～1.5°）
（3）螺桿的強度條件
螺紋危險截面面積a為：a=π（d-1.736p）2/4
螺桿所受轉(zhuǎn)矩t：t=f·tan（ψ+ρv）（d－0.75p）/2
當量應力為：
式中，f為千斤頂zui大起重量，單位為n.
查表,確定許用應力［σ］.
當量應力應小于許用應力，即：σca＜［σ］
（4）螺紋牙剪切強度條件
按機械性能較弱的螺母材料進行計算：
螺母的外徑d等于螺桿外徑d：d=d
螺紋牙根厚b：b=0.75p
螺紋旋合圈數(shù)z：z=h/p
查表取得許用剪切應力［τ］.
按剪切強度進行計算：τ=f/（πdbz）=f/（πd·0.75p·h/p），τ＜［τ］.
（5）螺紋牙彎曲強度條件
同樣，取機械性能較弱的螺母材料進行計算。
按彎曲強度進行計算：σb=3f（d-d2）/（πdb2z）=3f（d-d2）/（πdb2z）=3f［d-（d-0.75p）］/（πdb2z）
σb＜［σb］.
對靜載，許用應力應取較大值。
（6）螺桿的穩(wěn)定性條件
確定螺桿的柔度λ值：λ=μl/i
式中，μ為螺桿的長度系數(shù)，l為螺桿的總長度，i為螺桿危險截面慣性半徑，i=d1/4.
螺桿的長度系數(shù)根據(jù)螺紋副固定形式取值。
λ值小于許用值［λ］，即：λ＜［λ］.
（7）螺桿公稱直徑取值范圍
查《機械設計手冊》，取d值范圍為：20mm≤d≤650mm.
（8）螺母zui大高度（螺紋嚙合長度）范圍：30mm≤h≤280mm.
（9）螺紋螺距取值范圍
查《機械設計手冊》，得p值范圍為2mm≤p≤24mm.
1.2.2約束條件
約束條件表達式如下：
g1（x）=f-［0.75π（x1-0.75x3）x2］［p］≤0
g2（x）=arctanx3/[π（x1-0.75x3）]-ρv+（1°～1.5°）≤0
g4（x）=f/（0.75πx1x2）-［τ］≤0
g5（x）=3f/（0.75πx1x2）-［σb］≤0
g6（x）=4μl/（x1-1.736x3）-［λ］≤0
g7（x）=30-x2≤0
g8（x）=x2-280≤0
g9（x）=20-x1≤0
g10（x）=x1-650≤0
g11（x）=2-x3≤0
g12（x）=x3-24≤0
2優(yōu)化方法
本問題有三個變量12個約束條件，采用matlab優(yōu)化工具對其進行優(yōu)化設計。
3優(yōu)化設計實例
某廠生產(chǎn)一種手動螺旋千斤頂，zui大設計起重量為40kn，螺紋為鋸齒形，螺桿材料采用40cr，熱處理hrc45～50，σs=785mpa，螺母用zcual10fe3，螺紋副當量摩擦系數(shù)為μv=0.13,千斤頂zui大起重高度為130mm,圓錐齒輪厚為30mm,軸承固定端l0/d0=7/18。試設計傳動螺紋副，使其結(jié)構緊湊、所用材料zui省。
根據(jù)前面的數(shù)學建模，我們先通過查表或計算，得到約束條件的各個相關參數(shù)，然后再將其代入上述建模的約束條件，從而得到螺紋副的*設計方案。
現(xiàn)將原設計與優(yōu)化設計結(jié)果加以對照（表1），可以看出，優(yōu)化設計后螺紋副體積比原設計減少12.51%。采用優(yōu)化設計方法，不僅節(jié)省材料，降低工廠生產(chǎn)成本，而且節(jié)省設計時間。這有助于改革傳統(tǒng)的設計方法，為新產(chǎn)品開發(fā)改進提供了有力的依據(jù)。
表1原設計及優(yōu)化設計結(jié)果
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