jic35導(dǎo)讀：本文介紹的球頭銑刀非數(shù)控加工基本原理及主干數(shù)學(xué)模型已經(jīng)過了生產(chǎn)實(shí)踐的成功驗(yàn)證，目前與哈爾濱工業(yè)大學(xué)高技術(shù)園區(qū)合作開發(fā)的球頭銑刀系列產(chǎn)品已投放市場。本文除對球頭銑刀的低成本批量生產(chǎn)具有指導(dǎo)意義外，對于關(guān)于二軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控加工球頭銑刀的幾點(diǎn)說明中提及的其它特種回轉(zhuǎn)銑刀的批量生產(chǎn)亦具有參考價(jià)值。但應(yīng)注意，本文內(nèi)容僅反映了球頭銑刀非數(shù)控加工原理的基本框架，如需在工藝上實(shí)現(xiàn)該加工方法，則需根據(jù)其他文獻(xiàn)及本文框架補(bǔ)齊相應(yīng)的非主干模型，再用于指導(dǎo)生產(chǎn)。
球頭銑刀是數(shù)控加工復(fù)雜曲面（尤其是自由曲面）的重要刀具，市場需求量很大。由于球頭銑刀刃形復(fù)雜，目前國內(nèi)外對球頭銑刀的加工大多需在多軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控機(jī)床上實(shí)現(xiàn)，由于設(shè)備昂貴（可達(dá)上百萬美元），因此刀具的單件加工成本較高。為降低刀具加工成本，作者自1991年開始研究球頭銑刀的非數(shù)控加工方法，并與合作研究者一起先后提出了磨制球頭銑刀前刀面、后刀面的數(shù)學(xué)模型，探討了硬質(zhì)合金球頭銑刀的相關(guān)加工模型和球頭銑刀的序列生產(chǎn)問題。在對球頭銑刀的深入研究開發(fā)中，為解決原加工方案中后刀面磨削機(jī)構(gòu)較復(fù)雜的問題，改用平面曲線靠模代替空間曲線靠模進(jìn)行加工并獲得成功，進(jìn)一步降低了銑刀加工成本。
為使同行對球頭銑刀非數(shù)控加工的原理及方法有一個(gè)總體概念，本文對幾個(gè)文獻(xiàn)中闡述的加工原理及用于zui終形成產(chǎn)品的相關(guān)主干數(shù)學(xué)模型作一匯總介紹。
2前刀面加工原理及主干模型
為有利于切削，球頭銑刀的刃口曲線應(yīng)為“s”形球面曲線，即加工形成的前刀面與球面的交線應(yīng)為“s”形曲線。為此設(shè)計(jì)的球頭銑刀前刀面加工原理如圖1所示。加工時(shí)，錐面砂輪繞定軸o1回轉(zhuǎn)，同時(shí)工件（被加工銑刀）繞其軸線oz回轉(zhuǎn)，錐面砂輪相對工件運(yùn)動(dòng)形成的砂輪廓面族的包絡(luò)面即為前刀面。
為建立前刀面加工的主干數(shù)學(xué)模型，選取分別固聯(lián)在工件和砂輪上的右手直角坐標(biāo)系s=[o；x，y，z]和s1=[o1；x1，y1，z1]（見圖1），其中y和y1軸平行且指向上方。若記砂輪大端半徑為r2，錐面砂輪半頂角為g，砂輪大端到o1的距離為p，z和z1軸的夾角為f，則當(dāng)球頭半徑為r時(shí)，由坐標(biāo)系s1轉(zhuǎn)換到坐標(biāo)系s的變換式為r={x，y，z}={x1cosf+z1sinf-psinf，y1+r2，x1sinf+z1cosf+r-pcosf}（1）
在坐標(biāo)系s1中的砂輪輪廓面方程為r1={x1，y1，z1}={ucosv，usinv，p+（r2-u）cotg}（2）
令砂輪輪廓面繞y1軸以角速度w1回轉(zhuǎn)，并將得到的在t時(shí)刻的瞬時(shí)方程轉(zhuǎn)換到坐標(biāo)系s中，再令其相對oz軸以角速度w2回轉(zhuǎn)，即可得到相對運(yùn)動(dòng)下砂輪廓面族的包絡(luò)面（即前刀面）方程為（3）
3刃口曲線及參數(shù)優(yōu)化
式（3）方程組中*式對應(yīng)的球面為x*2+y*2+z*2=r2（4）
該球面與前刀面的交線即為刃口曲線。為使刃口曲線為理想的“s”形曲線，應(yīng)對設(shè)計(jì)變量進(jìn)行優(yōu)選。設(shè)計(jì)變量為x=[x1，x2，x3]=[p，q，r2]（5）
其中q=w2/w1。具體的優(yōu)選數(shù)學(xué)模型可參閱時(shí)培林、王偉、唐余勇合著的《關(guān)于球面銑刀制造中數(shù)學(xué)模型研究》（刊于《機(jī)械工程學(xué)報(bào)》1994年第5期），此處從略。
4后刀面加工原理及主干模型
設(shè)由式（3）、（4）解得的球面刃口曲線為r2={x2，y2，z2}（6）
磨制的后刀面必須過該刃口曲線，且具有足夠后角。為此設(shè)計(jì)的后刀面加工原理如圖2所示。圖中，p0為y軸上的定點(diǎn)（0，y0，0），p2為刃口曲線上的任一點(diǎn)，p為平面靠模曲線上的對應(yīng)點(diǎn)，由p點(diǎn)軌跡來保證砂輪廓面沿球面曲線進(jìn)行磨削。設(shè)過p2點(diǎn)且垂直于直母線的直線交砂輪軸線p0p于p點(diǎn)，則只需求出方向向量p2p即可求出p點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求出直線p0p上與y=y0平面的交點(diǎn)p（x，y0，z）的軌跡（即靠模曲線）。若設(shè)向量p2p上的單位向量為t={，，}，柱面砂輪半徑為r1，則有（7）
求出單位向量t={，，}，則p點(diǎn)軌跡方程為rp=r2+r1t（8）
則直線p0p的方程為rp=rp0+l（rp-rp0）/（rp-rp0）（9）
該直線與平面y=y0的交點(diǎn)軌跡即為靠模曲線。
因篇幅所限，本文不再羅列上述主干數(shù)學(xué)模型的具體表達(dá)式。需要指出，本節(jié)給出的數(shù)學(xué)模型比其他文獻(xiàn)中的相應(yīng)數(shù)學(xué)模型更為簡潔，且對應(yīng)的靠模曲線更易于制造和便于更替（以適應(yīng)加工不同規(guī)格刀具的需要），因而具有明顯的優(yōu)越性。加工后刀面時(shí)，存在優(yōu)化選取y0、r1值的問題，選取原則是既要使刀具具有一定后角，又要保證刃口處具有足夠強(qiáng)度。具體處理方法本文從略。