摘要：利用解析幾何和條件極值理論研究了用平面（或圓柱面）砂輪刃磨鉆頭時(shí)形成的鉆尖后刀面的包絡(luò)特性，結(jié)果表明，刃磨形成的鉆尖后刀面由平面螺旋運(yùn)動(dòng)包絡(luò)曲面和位于中心區(qū)域的非包絡(luò)曲面組成。非包絡(luò)區(qū)域面積與螺旋運(yùn)動(dòng)導(dǎo)程及砂輪平面與旋轉(zhuǎn)軸的夾角有關(guān)，導(dǎo)程和夾角越大，非包絡(luò)區(qū)域也越大。
1 問題的提出在實(shí)際加工中，經(jīng)常采用普通螺旋面刃磨法對鉆頭的鉆尖后刀面進(jìn)行刃磨。刃磨原理如圖1所示，鉆頭在繞自身軸線旋轉(zhuǎn)的同時(shí)沿軸線方向相對于平面（或圓柱面）砂輪向前推進(jìn)，即作普通螺旋運(yùn)動(dòng)。為求出通過刃磨得到的鉆尖后刀面的結(jié)構(gòu)參數(shù)和橫刃參數(shù)，通?？砂雌矫媛菪\(yùn)動(dòng)生成的包絡(luò)面進(jìn)行求解。首先建立圖1所示坐標(biāo)系。平面包絡(luò)方程為 { -xcosqcosw-ycosqsinw+zsinq+h-k2wsinq=0
xcosqsinw-ycosqcosw-k2sinq=0
（1）
圖1 普通螺旋面刃磨原理
式中：h——初始包絡(luò)面到坐標(biāo)原點(diǎn)的zui小距離 k2——鉆頭推進(jìn)速度與自轉(zhuǎn)速度之比 q——旋轉(zhuǎn)軸與包絡(luò)平面的夾角 u，w——刃形參數(shù) rs——砂輪半徑 其它中間變量包括： n=[（lcosq+usinq）2+k22sin2q
ne=（-lcos2q-usinqcosq）/n
ne1=-k2sinq/n
nk=（lsinqcosq+usin2q）/n
l=rs+h
平面包絡(luò)螺旋面的包絡(luò)線如圖2所示。由圖可見，這些包絡(luò)線在鉆頭端面包絡(luò)出一個(gè)圓。根據(jù)平面包絡(luò)方程式（1）可知，包絡(luò)線在xoy平面上的投影線方程為
圖2 平面包絡(luò)螺旋面的包絡(luò)線
圖3 平面及其上直線的初始位置
{ z=0
xcosqsinw-ycosqcosw-k2sinq=0
（2）
該投影線的包絡(luò)曲線方程為 { xcosqsinw-ycosqcosw-k2sinq=0
xcosqcosw+ycosqsinw=0
（3）
由于該包絡(luò)曲線是半徑為k2tanq 的圓，因此在靠近旋轉(zhuǎn)中心、以k2tanq 為半徑的圓柱以內(nèi)的區(qū)域不是平面螺旋運(yùn)動(dòng)的包絡(luò)面，即為非包絡(luò)區(qū)。但是，顯然不能認(rèn)為非包絡(luò)區(qū)未被砂輪磨削。本文利用解析幾何和條件極值理論，對平面螺旋運(yùn)動(dòng)生成的鉆尖后刀面的包絡(luò)區(qū)和非包絡(luò)區(qū)進(jìn)行了理論分析。2 直線包絡(luò)曲面與平面包絡(luò)曲面的關(guān)系在圖3所示坐標(biāo)系中，平面方程為 x=ztanq （4）
在平面上取一直線，其初始位置方程為 { x=ztanq
y=a
（5）
該直線繞z 軸旋轉(zhuǎn)a=wt 角后其方程為 { xcosa+ysina=（z-vt）tanq
-xsina+ycosa=a
（6）
式（6）為平面上一直線形成的掃成面方程。為研究直線包絡(luò)形成的曲面與平面包絡(luò)形成的曲面之間的關(guān)系，選取一條平行于z軸的直線 { x=a
y=b
（7）
并求出該直線與直線包絡(luò)曲面和平面包絡(luò)曲面的交點(diǎn)。如果將背離z軸方向的區(qū)域作為材料去除部分，則材料去除越多，交點(diǎn)的z值越大，據(jù)此可對兩種曲面對zui后生成面所起的作用進(jìn)行比較。該直線與直線包絡(luò)曲面的交點(diǎn)為 z= （a2+b2-a2）? cotq+ v （arccos a -f）
（a2+b2）? w （a2+b2）?
sinf= a
（a2+b2）?
（8）
由式（8）可知，z 值與直線在平面上的位置有關(guān)，也與選擇求交的直線位置有關(guān)。對a值求導(dǎo)可得 dz = a cotq- v 1
da （a2+b2）?（a2+b2-a2）? w （a2+b2）?（a2+b2-a2）?
（9）
令導(dǎo)數(shù)為零，可得 a =-（v/w）tanq （10）
當(dāng)a=-（v/w）tanq時(shí)，z有極值，且與（a，b）的取值無關(guān)。而a=-（v/w）tanq時(shí)直線形成的包絡(luò)面正是平面包絡(luò)形成的曲面。 通過以上分析不難看出，平面運(yùn)動(dòng)的包絡(luò)面就是平面上所有直線掃成面的條件極值的集合。3 非包絡(luò)區(qū)域的特性分析非包絡(luò)區(qū)是指平面包絡(luò)運(yùn)動(dòng)時(shí)在半徑為（v/w）tanq的圓內(nèi)形成的非包絡(luò)部分。由式（9）可知，當(dāng)a>-（v/w）tanq時(shí)，導(dǎo)數(shù)<0，因此該函數(shù)為減函數(shù)。選取非包絡(luò)區(qū)內(nèi)一點(diǎn)，由其對應(yīng)的zui小a值確定的交點(diǎn)就是終值點(diǎn)，即 a=（a2+b2）? （11）
z=（v/w）（p-f） （12）
式中，f 值可由式（8）中的第二式求得，并應(yīng)根據(jù)（a，b）所在象限對f 值進(jìn)行修正；z 是（ a，b）的函數(shù)。 包絡(luò)區(qū)與非包絡(luò)區(qū)的界線稱為脊線。分別在脊線上、脊線外和脊線內(nèi)選定位置點(diǎn)，然后通過計(jì)算分析平面轉(zhuǎn)動(dòng)360°過程中與選定直線交點(diǎn)z 值的變化規(guī)律。計(jì)算結(jié)果如圖4～圖6所示，圖中，橫坐標(biāo)為平面螺旋運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)角，縱坐標(biāo)為平面與選定直線交點(diǎn)的z 值；（a）～（d）分別表示直線在*～ 第四象限內(nèi)；平面螺旋運(yùn)動(dòng)參數(shù)為v=5.3，w=2p/ 5，q=60°。
（a）直線在*象限
（b）直線在第二象限
（c）直線在第三象限
（d）直線在第四象限
圖4 所選點(diǎn)在脊線上時(shí)的z值曲線
（a）直線在*象限
（b）直線在第二象限
（c）直線在第三象限
（d）直線在第四象限
圖5 所選點(diǎn)在脊線外時(shí)的z值曲線
（a）直線在*象限
（b）直線在第二象限
（c）直線在第三象限
（d）直線在第四象限
圖6 所選點(diǎn)在脊線內(nèi)時(shí)的z值曲線
由圖可知：①當(dāng)所選點(diǎn)位置在脊線上時(shí)，z值曲線有拐點(diǎn)，但無局部極值，為全域增函數(shù)（見圖4）；②當(dāng)所選點(diǎn)位置在脊線以外時(shí)，z 值曲線有拐點(diǎn)，存在局部極值，且不同象限的極值點(diǎn)不同（見圖5）；③當(dāng)所選點(diǎn)位置在脊線以內(nèi)時(shí)，z 值曲線沒有拐點(diǎn)，為全域增函數(shù)（見圖6）。 圖7所示為所選位置點(diǎn)在相同象限內(nèi)但位置半徑變化時(shí)z 值曲線的變化情況。由圖可見，隨著所選點(diǎn)位置半徑的增大， z值曲線由直線逐漸變彎，由無極值到有局部極值，且局部極值逐漸增大。由圖7還可看出，當(dāng)平面旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，所有z值曲線均經(jīng)過兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)對應(yīng)的z值與交點(diǎn)位置有關(guān)，其關(guān)系式為：tana=-a/b。對于圖7a所示交點(diǎn)位置，當(dāng)a=b時(shí)，a值分別為135°和315°。
（a）平面螺旋運(yùn)動(dòng)速度v=5.3
（b）平面螺旋運(yùn)動(dòng)速度v=0
a=b 0.a=0 1.a=10 2.a=20 3.a=30 4.a=40 5.a=50 6.a=60 7.a=70 8.a=80 9.a=90
圖7 相同象限內(nèi)所選點(diǎn)位置半徑變化時(shí)的z 值曲線
4 結(jié)論通過以上分析，可得出如下結(jié)論： 采用普通螺旋面法刃磨形成的鉆頭后刀面的一部分區(qū)域?yàn)樯拜喥矫媛菪\(yùn)動(dòng)的包絡(luò)面，另一部分區(qū)域則為非包絡(luò)面； 平面螺旋運(yùn)動(dòng)的包絡(luò)面是平面上所有直線掃成面的條件極值的集合； 采用普通螺旋面法或復(fù)雜螺旋面法刃磨鉆頭時(shí)，僅用包絡(luò)面求取鉆尖結(jié)構(gòu)參數(shù)是不全面的； 平面螺旋運(yùn)動(dòng)形成的非包絡(luò)區(qū)域的面積與螺旋運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)程和砂輪平面與旋轉(zhuǎn)軸的夾角有關(guān)，即導(dǎo)程和安裝夾角越大，非包絡(luò)區(qū)域面積也越大。