一、基本定理
根據(jù)邏輯代數(shù)的公理，可以推導(dǎo)出邏輯代數(shù)的8組定理，這些定理在邏輯推導(dǎo)中可當(dāng)作基本公式使用，它們在邏輯函數(shù)變換和化簡時十分有用。8組定理如表1所示。
表1 邏輯代數(shù)的8組定理
定理1
0＋0＝0； 0＋1＝1； 1＋0＝1； 1＋1＝1
0＋0＝0； 0＋1＝1； 1＋0＝1； 1＋1＝1
定理2
a＋a＝a； a·a＝a
定理3
a＋ab＝a；a·（a＋b）＝a
定理4
?。?br>定理5
定理6
定理7
定理8
二、重要規(guī)則
邏輯代數(shù)有三條重要規(guī)則，即代入規(guī)則、反演規(guī)則和對偶規(guī)則。
1．代入規(guī)則
任何一個含有變量a的邏輯等式，如果將所有出現(xiàn)a的位置都代之以同一個邏輯函數(shù)f，則等式仍然成立。這一規(guī)則稱為代入規(guī)則。
例如，給定邏輯等式，若等式中的a都用代替，則該邏輯等式仍然成立，即
利用代入規(guī)則可以將邏輯代數(shù)公理、定理中的變量用任意函數(shù)代替，從而推導(dǎo)出更多的等式。這些等式可直接作為公式使用，無須另加證明。
2．反演規(guī)則
若將邏輯函數(shù)f表達式中所有的“·”變成“+”，“+”變成“·”，“0”變成“1”，“1”變成“0”，原變量變成反變量，反變量變成原變量，并保持原函數(shù)中的運算順序不變 ，則所得到的新的函數(shù)為原函數(shù)f的反函數(shù)。這一規(guī)則稱為反演規(guī)則。
例如，已知函數(shù)，根據(jù)反演規(guī)則可得到
，
運用反演規(guī)則可以很方便地求出一個函數(shù)的反函數(shù)，但使用反演規(guī)則時應(yīng)注意保持原函數(shù)式中運算的優(yōu)先順序不變。
例如，已知函數(shù)，根據(jù)反演規(guī)則得到的反函數(shù)應(yīng)該是
而不應(yīng)該是。
3．對偶規(guī)則
如果將邏輯函數(shù)f表達式中所有的“·”變成“+”，“+”變成“·”，“0”變成“1”，“1”變成“0”，并保持原函數(shù)中的運算順序不變，則所得到的新邏輯表達式稱為函數(shù)f的對偶式，并記為f’。例如，
若，則 f′＝。
注意:求邏輯表達式的對偶式時，同樣要保持原函數(shù)的運算順序不變。
若兩個邏輯函數(shù)表達式f和g相等，則其對偶式f′和g′也相等。這一規(guī)則稱為對偶規(guī)則。根據(jù)對偶規(guī)則，當(dāng)已證明某兩個邏輯表達式相等時，便可知道它們的對偶式也相等。
三、復(fù)合邏輯
實際應(yīng)用中廣泛采用“與非”門、“或非”門、“與或非”門、“異或”門等門電路。這些門電路輸出和輸入之間的邏輯關(guān)系可由3種基本運算構(gòu)成的復(fù)合運算來描述，通常將這種邏輯關(guān)系稱為復(fù)合邏輯，相應(yīng)的邏輯門則稱為復(fù)合門。
1．與非邏輯
與非邏輯是由與和非兩種邏輯復(fù)合形成的，可用邏輯函數(shù)表示為
邏輯功能：只要變量a、b、c、…中有一個為0，則函數(shù)f為1；僅當(dāng)變量a、b、c、…全部為1時，函數(shù)f為0。實現(xiàn)與非邏輯的門電路稱為“與非”門。
與非邏輯可以實現(xiàn)與、或、非3種基本邏輯。以兩變量與非邏輯為例：
與：
或：
非：
由于與非邏輯可實現(xiàn)3種基本邏輯，所以，只要有了與非門便可組成實現(xiàn)各種邏輯功能的電路，通常稱與非門為通用門。
2．或非邏輯
或非邏輯是由或和非兩種邏輯復(fù)合形成的，可用邏輯函數(shù)表示為
邏輯功能：只要變量a、b、c…中有一個為1，則函數(shù)f為0；僅當(dāng)變量a、b、c…全部為0時，函數(shù)f為1。實現(xiàn)或非邏輯的門電路稱為“或非”門。
或非邏輯也可以實現(xiàn)與、或、非3種基本邏輯。以兩變量或非邏輯為例：
與：
或：
非：
同樣，只要有了或非門，便可以組成實現(xiàn)各種邏輯功能的邏輯電路。所以，或非門也是一種通用門?！?．與或非邏輯
與或非邏輯是由3種基本邏輯復(fù)合形成的，邏輯函數(shù)表達式的形式為
邏輯功能：僅當(dāng)每一個“與項”均為0時，才能使f為1，否則f為0。實現(xiàn)與或非功能的門電路稱為“與或非”門。
顯然，可以僅用與或非門去組成實現(xiàn)各種功能的邏輯電路，但實際應(yīng)用中這樣做一般很不經(jīng)濟，所以，與或非門主要用來實現(xiàn)與或非形式的函數(shù)。
4．異或邏輯
異或邏輯是一種兩變量邏輯關(guān)系，可用邏輯函數(shù)表示為
邏輯功能：變量a、b取值相同，f為0；變量a、b取值相異，f為1。實現(xiàn)異或運算的邏輯門稱為“異或”門。
根據(jù)異或邏輯的定義可知：
注意：在進行異或運算的多個變量中，若有奇數(shù)個變量的值為1，則運算結(jié)果為1；若有偶數(shù)個變量的值為1，則運算結(jié)果為0。
5．同或邏輯
同或邏輯也是一種兩變量邏輯關(guān)系，其邏輯函數(shù)表達式為
式中，“⊙”為同或運算的運算符。
功能邏輯：變量a、b取值相同，f為1；變量a、b取值相異，f為0。實現(xiàn)同或運算的邏輯門稱為“同或”門。
同或邏輯與異或邏輯的關(guān)系既互為相反，又互為對偶，即
注意：當(dāng)多個變量進行同或運算時，若有奇數(shù)個變量的值為0，則運算結(jié)果為0；反之，若有偶數(shù)個變量的值為0，則運算結(jié)果為1。
由于同或?qū)嶋H上是異或之非，所以實際應(yīng)用中通常用異或門加非門實現(xiàn)同或運算。