用插齒刀切削加工齒輪時(shí)，切削刃上下運(yùn)動(dòng)的軌跡表面與被加工齒輪嚙合，故切削刃在基面上的投影應(yīng)為漸開(kāi)線才不會(huì)產(chǎn)生原理誤差。而插齒刀是有前角和后角的，插齒刀的齒側(cè)表面為漸開(kāi)螺旋面，如插齒刀頂刃前角γ＝0°，則前刀面齒形為漸開(kāi)線，不會(huì)引起加工齒形誤差；如頂刃前角γ＜0°，則前刀面齒形為圓錐面與齒側(cè)表面的交線，切削刃在基面上的投影已不是漸開(kāi)線，故將引起齒形誤差（見(jiàn)圖1）。
圖1 插齒刀前角引起的齒形誤差
如果以圖中ⅱ-ⅱ截面中的漸開(kāi)線齒形為基準(zhǔn)，則在ⅲ-ⅲ截面中齒頂?shù)暮穸让總?cè)減薄δfa，同理，齒根處將增大δff，相當(dāng)于分圓壓力角增大，這將造成較大的齒形誤差。
如圖2所示，通過(guò)插齒刀前端面的頂刃作端截面o-o，得漸開(kāi)線cd，以o-o（基面）為極坐標(biāo)平面，令坐標(biāo)軸ooy通過(guò)漸開(kāi)線起點(diǎn)c，則漸開(kāi)線的極坐標(biāo)方程為
θy＝invαy
式中 cosαy＝rbo／ry
圖2 插齒刀齒形誤差分析
切削刃在基面上投影的方程式可通過(guò)以下方法求得。在切削刃上取任意點(diǎn)m，其半徑為ry，截面為ⅰ-ⅰ，離基面o-o的距離為δb，則有
δb＝（ra－ry）tg｜γ｜
m點(diǎn)相對(duì)于m′點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)δφ角，其值為
式中 βy——半徑為ry的齒側(cè)表面螺旋角
切削刃上任意點(diǎn)m的極坐標(biāo)方程式（即切削刃在基面上投影的方程式）為
θ′y＝θy－δφ
＝θy－（ra－ry）tg｜γ｜tgαotgαe／ro （1）
如果插齒刀齒側(cè)漸開(kāi)螺旋面的齒形角αo和齒輪分圓壓力角相同，則切削刃在端面的投影將和理論漸開(kāi)線有較大誤差，這種誤差將使插齒刀齒頂和齒根厚度發(fā)生變化。當(dāng)插齒刀參數(shù)α＝20°，m＝8，z＝16，ra＝74．2168，αo＝6°，γ＝－5°時(shí)，齒頂處誤差δfa可達(dá)0．0397mm，基圓處的齒形誤差δfb達(dá)－0．0121mm。對(duì)插齒刀來(lái)說(shuō)，這樣大的誤差是不允許的，且插齒刀的前角γ和后角αe越大，齒形誤差也越大。
為減小齒形誤差，可采用修正插齒刀齒形角的辦法，即修正齒側(cè)漸開(kāi)螺旋面的端面齒形角，使插齒刀的齒形角αo和齒輪分圓壓力角α不等。具體方法是使刀具切削刃投影在分圓處的切線和理論漸開(kāi)線的切線重合，由此導(dǎo)出刀具齒側(cè)面的原始齒形角α。
圖3所示m點(diǎn)是刀刃曲線上的任意點(diǎn)，已給曲線m點(diǎn)的切線和徑向之間的夾角ψ為
圖3 齒形角的修正
將式（1）中的θ′y對(duì)ry微分一次，得到
其中θy＝invαy＝tgαy－αy，代入上式得
因?yàn)?alpha;＝arccos（rb／ry），故
即
?。?）
令在分圓處切削刃投影曲線的ψ角等于理論漸開(kāi)線的壓力角α，則
ψ＝α，ry＝ro，αy＝αo
代入式（2）得
tgα＝tgαo＋tg｜γ｜tgαotgαe
即
?。?）根據(jù)式（3）即可求出插齒刀側(cè)表面齒形角的修正值αo，修正后切削刃投影的分圓壓力角正好是α，符合加工齒輪的要求。