3.5delta機器人工作空間軌跡規(guī)劃
上述delta機器人的關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃及其動力學軌跡優(yōu)化模型是對關(guān)節(jié)空間驅(qū)動 電機的軌跡規(guī)劃及其動力學優(yōu)化模型，動力學優(yōu)化后，減小了所需驅(qū)動電機力矩和功率 的峰值。由圖3-12可知，關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃擬合曲線經(jīng)過運動學正解轉(zhuǎn)換得到的工作空 間擬合曲線，在末端執(zhí)行器豎直方向運行階段，x方向的速度、加速度擬合曲線稍有抖 動，擬合曲線的加速度峰值相差較大?？紤]到工作空間的各種情況，例如，在某些特殊 情況下，抓取和釋放物體時豎直運行階段水平方向不能抖動，工作空間擬合曲線的加速 度峰值要求在一定范圍內(nèi)等，即要求機器人具有良好的工作空間性能。由于在工作空間 內(nèi)進行軌跡規(guī)劃得到的擬合曲線一般具有良好的工作空間性能，為了實現(xiàn)上述要求，本 小節(jié)將對delta機器人進行工作空間的軌跡規(guī)劃。
3.5.1工作空間關(guān)鍵點的選取
為了確定工作空間中的軌跡規(guī)劃路徑，并使機器人在整個運行過程中，末端執(zhí)行器 避開障礙物，在工作空間的軌跡規(guī)劃中選取6個工作空間關(guān)鍵點。為了將工作空間軌跡 規(guī)劃與關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃得到的擬合曲線進行對比，工作空間選取的關(guān)鍵點應盡量與關(guān) 節(jié)空間軌跡規(guī)劃選取的工作空間關(guān)鍵點重合，工作空間軌跡規(guī)劃中選取的工作空間關(guān)鍵 點如圖3-14所示。其中，點0, 2, 3, 5與11個工作空間關(guān)鍵點的關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃中 選取的相應工作空間關(guān)鍵點重合，點1，4分別與點0, 5構(gòu)成工作空間豎直方向軌跡路徑。
由圖3-14可以看出，抓取和釋放物體階段，擬合曲線沒有水平方向的抖動，擬合曲 線的拐彎半徑較大，有利于改變工作空間中末端執(zhí)行器的運動方向，末端執(zhí)行器水平運 行階段擬合曲線沒有豎直方向的抖動，這將有利于增加末端執(zhí)行器的穩(wěn)定性。
3.5.2工作空間運動學五次樣條函數(shù)模型
與關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃類似，工作空間的軌跡規(guī)劃同樣使用五次樣條函數(shù)，并使用相 應的工作空間6個關(guān)鍵點的工作空間軌跡規(guī)劃算法，以期待得到連續(xù)可導的工作空間位 移、速度、加速度、加加速度擬合曲線。
五次樣條函數(shù)數(shù)學模型如公式（3-6)所不，其中/(x)，/(x)，/(x)，/(x)，/(x), 分別表示工作空間內(nèi)位移、速度、加速度、加加速度以及加加速度的一階導數(shù)，x表示 每段工作空間擬合曲線首尾的時間差。在笛卡爾坐標系中，為了使工作空間內(nèi)相鄰具有 x或y方向位移、速度、加速度、加加速度的擬合曲線關(guān)鍵點連接處連續(xù)可導，需要建 立合理的工作空間邊界條件，其邊界條件如公式（3-7)、（3-8)、（3-9)、（3-10)所示。
delta兩自由度高速并聯(lián)工業(yè)機器人有兩個工作空間輸出量，其系數(shù)矩陣稍有不同， 這里將分別對工作空間內(nèi)兩輸出量進行闡述。在工作空間擬合曲線12, 23, 34段有x方 向的輸出量，它是由4個工作空間關(guān)鍵點組成了三段擬合曲線，利用公式（3-7)、（3-8)、 (3-9)、（3-10)可得到工作空間內(nèi)從關(guān)鍵點1到關(guān)鍵點4的含有18個未知量的18個關(guān)于時間的線性方程組，對其整理得到矩陣5^=^^次，（與尤類似如公式（3-11)所示。
在工作空間擬合曲線01, 12段和34, 45段分別有y方向的輸出量，現(xiàn)只對擬合曲 線01, 12段^方向的輸出量擬合曲線進行闡述，擬合曲線34，45段j方向的輸出量擬 合曲線求法與下述方法類似。工作空間擬合曲線01，12段是由3個工作空間點組成的 兩段擬合曲線，利用公式（3-7)、（3-8)、（3-9)、（3-10)可得到工作空間內(nèi)從關(guān)鍵點0 到關(guān)鍵點2的含有12個未知量的12個關(guān)于時間的線性方程組，對其進行整理得到矩陣 ^與尤類似如公式（3-11)所示。
3.5.3動力學軌跡優(yōu)化模型
在關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃中加入了動力學的軌跡優(yōu)化模型，該動力學優(yōu)化模型是對關(guān)節(jié) 空間內(nèi)驅(qū)動電機力矩和功率的優(yōu)化，主要目的是為了減小機器人所需驅(qū)動電機的力矩和 功率。同樣在工作空間的軌跡規(guī)劃中，建立了工作空間內(nèi)的力-運動動力學模型和關(guān)節(jié)空 間內(nèi)的動力學模型，其中工作空間軌跡規(guī)劃及其關(guān)節(jié)空間內(nèi)的動力學優(yōu)化模型，與關(guān)節(jié) 空間軌跡規(guī)劃及其關(guān)節(jié)空間內(nèi)的動力學優(yōu)化模型類似，這里不再贅述。
將工作空間內(nèi)的力-運動動力學模型加入到工作空間軌跡規(guī)劃的主要目的是，在不 改變被加持或被吸盤吸住物體的形狀和質(zhì)量的情況下，盡量降低所需夾持力或吸盤吸力 峰值，也就是降低末端執(zhí)行器的加速度峰值，并且末端執(zhí)行器的速度和加速度應盡量維 持在峰值以加快delta機器人工作空間或關(guān)節(jié)空間內(nèi)的運行速度，從而從根本上降低每 個循環(huán)周期所需時間。
工作空間軌跡規(guī)劃后，進行動力學優(yōu)化的目標有兩個：一是在不增加末端執(zhí)行器速 度和加速度的情況下，盡量縮短一個工作循環(huán)的時間，即末端執(zhí)行器的峰值速度和峰值 加速度確定，盡量增加機器人末端執(zhí)行器的運行速度；二是在不改變一個循環(huán)周期的情 況下，盡量降低所需末端執(zhí)行器的峰值速度和峰值加速度。如上所述，在大多數(shù)情況下， 純粹對時間周期的優(yōu)化幾乎不能求解，因此，在工作空間的動力學優(yōu)化模型中，同樣將 時間周期設(shè)為常數(shù)1,即機器人運行一個循環(huán)所需時間是1秒鐘，并將末端執(zhí)行器的速 度和加速度作為動力學優(yōu)化的目標。
當工作空間內(nèi)關(guān)鍵點數(shù)確定后，速度是加速度關(guān)于時間的一次函數(shù)，當末端執(zhí)行器 峰值加速度確定后，為了提高機器人的運行速度，并盡量降低末端執(zhí)行器的峰值速度, 應盡量使得末端執(zhí)行器速度小于并長時間維持在峰值。
delta機器人工作空間軌跡規(guī)劃流程如圖3-15所示，其中，判斷1為得到的工作空 間內(nèi)末端執(zhí)行器的速度、加速度是否小于等于所要求的大峰值，為了增加機器人末端 執(zhí)行器的運行速度，應盡量降低末端執(zhí)行器的速度峰值，并使其速度維持在峰值附近， 末端執(zhí)行器的速度、加速度是時間的函數(shù)；判斷2為關(guān)節(jié)空間內(nèi)的位移、速度擬合曲線 是否沒有過沖。
3.5.4軌跡規(guī)劃曲線分析
根據(jù)delta機器人工作空間內(nèi)的運動學五次樣條函數(shù)模型和動力學的優(yōu)化模型，編 寫機器人的python語言工作空間軌跡規(guī)劃程序，得到的擬合曲線如圖3-16, 3-17, 3-18所示。
圖3-16中左右紅色間斷線分別為工作空間內(nèi)末端執(zhí)行器x軸方向和y軸方向的擬 合曲線，由上至下分別表示工作空間內(nèi)末端執(zhí)行器的位移、速度、加速度和加加速度擬 合曲線，由圖可以看出，利用以上工作空間內(nèi)五次樣條函數(shù)模型和工作空間內(nèi)的動力學 軌跡優(yōu)化模型，得到的delta機器人的工作空間內(nèi)擬合曲線的位移、速度、加速度和加 加速度曲線均連續(xù)可導，遏制了擬合曲線跳躍而出現(xiàn)的被抓取物體脫落或破壞等現(xiàn)象的 發(fā)生。由圖可知，擬合曲線x軸方向的速度峰值大約為3m/；?, y軸方向的速度大小小 于3m/x，x軸方向和y軸方向的加速度大小均小于50m/s2，x軸方向和y軸方向的加 加速度大小均小于3500m/s3。得到的工作空間內(nèi)的x、y軸方向速度、加速度、加加速 度擬合曲線的峰值相差較小，左右紅色間斷擬合曲線具有良好的工作空間性能，這將非 常有利于delta機器人的空間抓取。
圖3-17中左右紅色間斷線分別為末端執(zhí)行器擬合曲線通過運動學逆解轉(zhuǎn)換得到的 左驅(qū)動關(guān)節(jié)和右驅(qū)動關(guān)節(jié)擬合曲線，由上至下分別表示驅(qū)動關(guān)節(jié)角位移、速度、加速度 擬合曲線，由圖可以看出，關(guān)節(jié)空間內(nèi)的位移、速度擬合曲線均連續(xù)可導，加速度擬合 曲線連續(xù)但不可導。左右驅(qū)動關(guān)節(jié)的速度大小均小于srad/s,加速度大小均小于160 md/s2，速度、加速度峰值相差較小，得到的擬合曲線有利于delta機器人的實際控制。
利用工作空間內(nèi)的力-運動動力學模型，對機器人工作空間內(nèi)的運動學擬合曲線進 行優(yōu)化，得到的關(guān)節(jié)空間內(nèi)驅(qū)動電機力矩和功率的擬合曲線如圖3-18所示。由圖可知， 左右驅(qū)動關(guān)節(jié)力矩擬合曲線與功率擬合曲線均連續(xù)但不可導，左驅(qū)動關(guān)節(jié)力矩擬合曲線 峰值大小小于70w.m，右驅(qū)動關(guān)節(jié)力矩擬合曲線峰值大小小于等于loow.m，左右關(guān) 節(jié)驅(qū)動力矩峰值大小相差較大；左右驅(qū)動電機的功率擬合曲線為取值后的擬合曲線， 左驅(qū)動關(guān)節(jié)功率擬合曲線峰值大小小于360vv，右驅(qū)動關(guān)節(jié)功率擬合曲線峰值大小小于 500vv，左右關(guān)節(jié)驅(qū)動功率峰值大小相差較大。
針對delta機器人驅(qū)動電機實際參數(shù)，以上所述工作空間內(nèi)軌跡規(guī)劃及其工作空間 內(nèi)的動力學優(yōu)化模型得到的力矩參數(shù)不能滿足使用要求，為了充分利用驅(qū)動電機的性能, 必須對工作空間內(nèi)軌跡規(guī)劃結(jié)果進行關(guān)節(jié)空間內(nèi)的動力學優(yōu)化。將圖3-15中，工作空間 動力學優(yōu)化改為關(guān)節(jié)空間動力學優(yōu)化，其中，判斷1為關(guān)節(jié)空間內(nèi)的位移、速度擬合曲 線是否沒有過沖，速度、加速度擬合曲線峰值是否相差較小；判斷2為關(guān)節(jié)空間內(nèi)的力 矩、功率擬合曲線峰值是否相差較小，是否滿足驅(qū)動電機的實際控制需求。
圖3-16中，左右藍色和黑色實線分別為工作空間內(nèi)末端執(zhí)行器的x軸方向和y軸方 向擬合曲線，由圖可以看出，利用以上工作空間內(nèi)五次樣條函數(shù)模型和關(guān)節(jié)空間內(nèi)的動 力學軌跡優(yōu)化模型，得到的delta機器人的工作空間內(nèi)擬合曲線的位移、速度、加速度 和加加速度擬合曲線均連續(xù)可導。由圖可知，擬合曲線x、 y軸方向的速度峰值大小分 別為大約4m/5■、小于3m/5■，加速度峰值大小分別小于50m/、小于等于60m//， 加加速度峰值大小分別小于2200 m/s3、4000 m/^3。
圖3-17左右藍色和黑色實線為末端執(zhí)行器擬合曲線通過運動學逆解轉(zhuǎn)換得到的左 右驅(qū)動關(guān)節(jié)擬合曲線，由圖可以看出，關(guān)節(jié)空間內(nèi)的位移、速度擬合曲線均連續(xù)可導， 加速度擬合曲線連續(xù)但不可導。左右驅(qū)動關(guān)節(jié)的速度峰值大小均小于加速度 峰值大小分別小于180 rad / s2、150 rad //。
圖3-18左右藍色和黑色實線為關(guān)節(jié)空間動力學優(yōu)化后，得到的關(guān)節(jié)空間內(nèi)驅(qū)動電 機力矩和功率的擬合曲線。由圖可知，左右驅(qū)動關(guān)節(jié)力矩擬合曲線與功率擬合曲線均連 續(xù)但不可導，左右驅(qū)動關(guān)節(jié)力矩擬合曲線峰值大小分別小于75 a^m、小于等于80 a^m， 左右驅(qū)動關(guān)節(jié)功率擬合曲線峰值大小分別約為500vv、700w。
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