摘要 首先對(duì)銑削過(guò)程中切削扭矩的波形特征進(jìn)行了研究；建立了銑削過(guò)程的隨機(jī)自回歸模型，將自回歸算法應(yīng)用到刀具破損監(jiān)測(cè)中，并介紹了用zui小均方算法對(duì)自回歸模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的方法；以實(shí)驗(yàn)的方法研究了步長(zhǎng)因子的特征及模型階數(shù)的選取。
關(guān)鍵詞：刀具破損檢測(cè) 自回歸算法 銑削application of the autoregressive method in
cutting tool breakage monitoring in milling process
liu xiaodong
abstract in this paper,the characteristic of milling torque waveform is analyzed.in order to distinguish tool breakage in milling process a stochastic ar model is established,the parameters of which are estimated by lms method.with the experiment the characteristic of the step factor and the order of ar model are researched.
key words：cutting tool breakage monitoring;autoregressive algorithm;milling
隨著生產(chǎn)自動(dòng)化程度的提高，人們?cè)絹?lái)越重視加工過(guò)程中刀具破損的在線監(jiān)測(cè)。破損是刀具的主要失效形式之一。刀具在機(jī)械沖擊作用下或刀具材料發(fā)生疲勞（機(jī)械或熱疲勞），其內(nèi)部應(yīng)力如果超過(guò)刀具材料的強(qiáng)度極*，切削刃將斷裂并從刀具體上脫落下來(lái)，形成破損。在切削加工過(guò)程中，刀具發(fā)生破損必然會(huì)通過(guò)各種現(xiàn)象或信號(hào)（如切削力、聲音等）表現(xiàn)出來(lái)。在眾多的信號(hào)中，使用切削力（扭矩）對(duì)刀具破損進(jìn)行監(jiān)測(cè)是zui常用的也是zui有效的方法。本文首先研究了銑削過(guò)程中切削扭矩的波形特征；然后將自回歸算法引入到刀具破損監(jiān)測(cè)中，重點(diǎn)研究了自回歸算法在刀具破損監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用，介紹了用zui小均方算法對(duì)自回歸模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的方法；并對(duì)自回歸模型的步長(zhǎng)因子μ、階數(shù)p等進(jìn)行了較詳細(xì)的研究。
刀具破損時(shí)程度各不相同，有時(shí)是小塊切削刃脫落，有時(shí)是大塊切削刃脫落，更有甚者是整個(gè)刀具折斷。一般來(lái)講，破損量較大時(shí)切削力信號(hào)的變化較強(qiáng)烈，容易識(shí)別；而較小的破損則較難識(shí)別。本文只就小塊切削刃的破損進(jìn)行研究。
本文所使用的銑削力（扭矩）測(cè)量裝置是一把帶有力傳感器和感應(yīng)供電裝置的切削力遙測(cè)刀柄［1］，測(cè)力刀柄可以測(cè)量出鉆、銑削過(guò)程中刀具受到的切削扭矩。
1 銑削過(guò)程中切削扭矩的波形特征
由于采用銑削扭矩作為刀具破損監(jiān)測(cè)的依據(jù)，所以需要了解銑削扭矩的變化規(guī)律，這樣才能對(duì)刀具的破損進(jìn)行識(shí)別。本文實(shí)驗(yàn)所用的銑刀選擇高速鋼三齒螺旋槽立銑刀，工件材料為調(diào)質(zhì)45鋼。
測(cè)力刀柄每隔一定的時(shí)間采集一次銑削扭矩?cái)?shù)值，并將這些離散點(diǎn)相連接，形成了扭矩的波形曲線。銑刀每轉(zhuǎn)內(nèi)采集的點(diǎn)數(shù)是確定的（本文為每轉(zhuǎn)采集60個(gè)數(shù)據(jù)），由安裝在銑床主軸端部的編碼器決定。
首先分析正常銑削過(guò)程中切削扭矩的波形特征（圖1a）：扭矩信號(hào)是周期性的，其基頻就是銑刀的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率，每個(gè)周期內(nèi)的三個(gè)波峰分別表示銑刀三個(gè)齒的切削扭矩。理論上講，每個(gè)刀齒相鄰兩個(gè)周期（即相鄰兩轉(zhuǎn)）之間切削扭矩的波形（形狀和幅值）應(yīng)該相同，也就是說(shuō)，相鄰兩轉(zhuǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)（如圖1a中a1、a2點(diǎn)）的幅值相等。但是，在同一周期內(nèi)，各個(gè)刀齒之間的切削扭矩波形并不一定相同，這主要是由于各個(gè)刀齒的幾何角度、刃口質(zhì)量略有差異以及銑刀安裝偏心等因素造成的。
圖1 三齒立銑刀銑削扭矩波形特征
（a）正常銑削 （b）模擬破損 （c）模擬破損 （d）經(jīng)過(guò)氣孔
刀具破損的偶然性很大，較難捕捉并記錄下來(lái)，給實(shí)驗(yàn)帶來(lái)很大的困難，因此本文采用了模擬破損的方法。具體做法如下：先用完好的刀具銑削，記錄下切削扭矩的數(shù)據(jù)；然后停車，在不拆卸刀具、工件的情況下，用手動(dòng)砂輪在切削刃上磨出缺口，模擬破損；接著用帶缺口的刀具繼續(xù)銑削并記錄切削扭矩的數(shù)據(jù)。這樣做可以獲得銑刀破損前后的扭矩波形，但無(wú)法再現(xiàn)破損瞬間扭矩的變化情況。根據(jù)本文下面的分析可以知道，利用自回歸算法監(jiān)測(cè)刀具破損主要需要識(shí)別破損前后銑削扭矩的變化，破損瞬間的變化規(guī)律倒不是zui重要的。
一般來(lái)講，切削刃產(chǎn)生缺口后將有兩種情況發(fā)生：一種情況是缺口處仍保持可以繼續(xù)切削的正后角，但該處的切削厚度將減小，缺口處切削刃少切削甚至不切削工件，切削扭矩降低，這樣扭矩波形就出現(xiàn)了凹陷，與破損齒相鄰的下一齒將切掉破損齒沒(méi)有切掉的部分材料，所以扭矩波形會(huì)出現(xiàn)一個(gè)凸起（圖1b）；第二種情況是缺口處的后角變?yōu)榱慊蜇?fù)值，此時(shí)該處后刀面與工件的摩擦劇增，使切削扭矩驟然增大（圖1c）?？梢哉f(shuō)，不論哪一種情況，破損前后切削扭矩的幅值和波形都將發(fā)生變化。
如同刀具破損時(shí)切削扭矩波形將發(fā)生變化一樣，在某些特殊情況下（如銑刀切入、切出工件，工件表面有孔、槽、臺(tái)階，工件表面不平整等），切削扭矩的波形也將發(fā)生變化。這樣就涉及到刀具監(jiān)測(cè)的另外一個(gè)問(wèn)題：即如何將特殊情況下的切削與刀具破損區(qū)別開(kāi)來(lái)，以避免發(fā)生錯(cuò)誤的判別。圖1d是銑削有氣孔（氣孔直徑約為5.2mm）工件的銑削扭矩波形，從圖中可以看出，銑刀經(jīng)過(guò)氣孔時(shí)每個(gè)刀齒切削扭矩波形將出現(xiàn)凹陷，形成中間低洼的“駝峰”狀波形。
所有特殊條件下的切削都會(huì)使相鄰兩轉(zhuǎn)之間銑削扭矩的波形發(fā)生變化。如何將這種變化與刀具破損時(shí)扭矩的變化區(qū)別開(kāi)來(lái)，通過(guò)仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)：刀具破損引起切削扭矩的變化是一個(gè)突變過(guò)程，即在相鄰兩轉(zhuǎn)之間扭矩的幅值突然增大；而特殊條件下切削扭矩的變化則是一個(gè)緩變的、漸進(jìn)的過(guò)程。以圖1d為例，雖然整個(gè)過(guò)程中切削扭矩發(fā)生了較大的變化，但變化是緩慢過(guò)渡的，即銑刀逐漸切入氣孔，并逐漸切離氣孔，因此相鄰兩轉(zhuǎn)之間扭矩的變化相當(dāng)小。切削扭矩的突變性和緩變性是區(qū)分兩者的重要特征，這一點(diǎn)為自回歸算法排除誤報(bào)提供了客觀依據(jù)。
至此，我們可以根據(jù)切削扭矩的變化用肉眼判斷刀具的狀態(tài)（是否破損）。接下來(lái)就要使計(jì)算機(jī)能夠根據(jù)切削扭矩的數(shù)據(jù)自動(dòng)識(shí)別銑削扭矩波形的變化，從而進(jìn)一步判斷刀具是否破損，這就是監(jiān)測(cè)算法的研究。
2 銑削過(guò)程的自回歸（autoregressive）模型
2.1 自回歸模型的建立
離散的動(dòng)態(tài)銑削過(guò)程（如圖1a～d所示）可以用兩個(gè)模型合并描述：過(guò)程中確定的、有規(guī)律的成分可以用動(dòng)態(tài)傳遞函數(shù)描述，過(guò)程中的隨機(jī)成分可以用隨機(jī)模型來(lái)描述，見(jiàn)圖2。這樣，任一時(shí)刻t的輸出f（t）可以表示為：
（1）式中f（t）——t時(shí)刻的銑削扭矩
u（t）——切削條件（如切削用量、工件材質(zhì)等）
a（t）——干擾銑削過(guò)程的隨機(jī)輸入成分
b——后移算子
式（1）右邊的前一項(xiàng)表示沒(méi)有隨機(jī)干擾成分時(shí)銑削力的幅值，它是由切削條件決定的，因?yàn)槭侵芷谛缘?、穩(wěn)定的成分，所以對(duì)刀具破損的識(shí)別沒(méi)有意義?？梢酝ㄟ^(guò)將相鄰兩轉(zhuǎn)扭矩波形對(duì)應(yīng)點(diǎn)求一階差分的方法將這一項(xiàng)濾掉（見(jiàn)圖1a），即一階差分
δf（t）＝f（t）－f（t－t）?。?）
展開(kāi)得：
其中t表示銑刀每個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)周期內(nèi)采集的銑削扭矩點(diǎn)數(shù)（對(duì)應(yīng)于銑刀的轉(zhuǎn)動(dòng)周期），化簡(jiǎn)得：
?。?）這樣就得出以一階差分為輸出的銑削過(guò)程模型。由于a（t）－a（t－t）是隨機(jī)輸入量，所以這個(gè)模型是一個(gè)隨機(jī)模型，稱為自回歸滑動(dòng)平均模型arma（p,q）（其中p、q是模型的階數(shù)）。它由兩部分組成：自回歸項(xiàng)φp（b）（autoregressive,簡(jiǎn)稱ar）和滑動(dòng)平均項(xiàng)γq（b）（moving average，簡(jiǎn)稱ma）。其中低階的自回歸模型是一個(gè)線形濾波器，比較適合監(jiān)測(cè)變化較快的動(dòng)態(tài)過(guò)程，所以通常采用自回歸模型進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)［3］。
圖2 動(dòng)態(tài)銑削過(guò)程模型
p階自回歸模型可以表示為：
（4）或者
?。?）其中δf（t），δf（t－1），δf（t－2），…，δf（t－p）分別是t,t-1,t-2,…,t-p時(shí)刻切削扭矩的一階差分，φ1，φ2，…，φp是模型參數(shù)。
另外，t時(shí)刻的δf（t）值可以由已經(jīng)求得的參數(shù)φ1，φ2，…，φp和t-1時(shí)刻以前（包括t-1時(shí)刻）的δf（t－1），δf（t－2），…，δf（t－p）值估計(jì)，即
（6）其中“∧”表示估計(jì)值。實(shí)際上就是根據(jù)以前的數(shù)據(jù)對(duì)即將產(chǎn)生t時(shí)刻的數(shù)據(jù)進(jìn)行的預(yù)估值，所以沒(méi)有包含過(guò)程中可能出現(xiàn)的隨機(jī)因素的影響。將實(shí)測(cè)值δf（t）與估計(jì)值相減就得到t時(shí)刻影響過(guò)程的隨機(jī)成分，即
?。?）δ（t）稱為殘余誤差（residual error），表示實(shí)驗(yàn)測(cè)量值和估計(jì)值之差。
2.2 自回歸模型的時(shí)變參數(shù)估計(jì)
下面的問(wèn)題是如何利用t-1時(shí)刻以前（包括t-1時(shí)刻）的δf值對(duì)t時(shí)刻的δf值進(jìn)行估計(jì)，從而求得殘余誤差。關(guān)鍵在于如何計(jì)算模型參數(shù)φ1，φ2，…，φp，它們需要自適應(yīng)確定。本文引入了zui小均方算法（lms）對(duì)ar模型進(jìn)行時(shí)變參數(shù)估計(jì)，其特點(diǎn)是無(wú)需計(jì)算相關(guān)函數(shù)，也不必進(jìn)行矩陣求逆［2］，所以運(yùn)算簡(jiǎn)單，可以保證監(jiān)測(cè)的實(shí)時(shí)性。
lms算法用于ar（p）模型的時(shí)變參數(shù)估計(jì)可以簡(jiǎn)單地歸納如下：
給定參數(shù)：模型階數(shù)p，步長(zhǎng)因子μ
初始條件：t=0時(shí)，p維向量初值
lms算法的表達(dá)式為，t＝0，1，2，…時(shí)
?。?）其中
φ（t）＝［φ1（t），φ2（t），…，φp（t）］?。?）
表示t時(shí)刻由模型參數(shù)構(gòu)成的向量，
δf（t）＝［δf（t－1），δf（t－2），…，δf（t－p）］t?。?0）
表示t-1時(shí)刻以前（包括t-1）的δf值組成的向量，為t時(shí)刻的估計(jì)值。
利用這組遞推公式就可以對(duì)ar模型的參數(shù)進(jìn)行時(shí)變估計(jì)，并求出任一時(shí)刻t的殘余誤差值δ（t）。
3 自回歸模型在刀具破損監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用
3.1 自回歸算法用于刀具破損監(jiān)測(cè)
從以上介紹可以看出，隨機(jī)自回歸模型的輸入是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，輸出是殘余誤差。如果輸入量是一個(gè)穩(wěn)定的隨機(jī)過(guò)程，輸出的殘余誤差是噪聲信號(hào)（即均值為零，方差為常數(shù)），它的值很小，在零點(diǎn)上下波動(dòng)；如果這一隨機(jī)輸入突然偏離穩(wěn)定過(guò)程，ar模型將被擾亂，它在至少p（ar模型的階數(shù)）個(gè)間隔（也就是處理p個(gè)數(shù)據(jù)）之內(nèi)不在跟蹤隨機(jī)過(guò)程，輸出殘余誤差的幅值將突增。殘余誤差值的變化幅度比輸入信號(hào)的變化幅度要大得多，也就是說(shuō)，自回歸算法有對(duì)輸入進(jìn)行放大的作用。
在正常銑削過(guò)程中（圖1a），對(duì)切削扭矩進(jìn)行一階差分濾波后，得到的是一系列平穩(wěn)的隨機(jī)數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)經(jīng)ar模型處理后得到平穩(wěn)的殘余誤差輸出，見(jiàn)圖3a，其幅值小于圖示切削扭矩單位。當(dāng)?shù)毒咂茡p時(shí)（圖1b、c），前后兩轉(zhuǎn)之間切削扭矩的突變使一階差分突然變化，穩(wěn)定的隨機(jī)輸入過(guò)程被破壞了，從而使殘余誤差的輸出值產(chǎn)生突變。圖3b表示圖1c的數(shù)據(jù)經(jīng)ar模型處理后得到的殘余誤差輸出，其幅值范圍為-14.65～19.40切削扭矩單位。當(dāng)銑刀經(jīng)過(guò)工件的氣孔時(shí)（圖1d），切削扭矩的一階差分值也會(huì)發(fā)生變化，輸出的殘余誤差要比正常銑削時(shí)大（見(jiàn)圖3c），其幅值范圍為圖示切削扭矩單位。由于特殊條件下切削扭矩的變化是緩慢漸進(jìn)的，所以相鄰兩轉(zhuǎn)之間一階差分值的變化并不顯著，因此輸出的殘余誤差要比刀具破損時(shí)小得多。
圖3 ar模型的殘余誤差輸出
（a）正常銑削過(guò)程 （b）銑刀破損?。╟）銑刀經(jīng)過(guò)氣孔
以殘余誤差值作為識(shí)別刀具破損的依據(jù)。由于刀具破損時(shí)殘余誤差的值域范圍比另外兩種情況大得多，所以，只要制定合理的殘余誤差門(mén)限值，使之位于破損時(shí)殘余誤差zui大值和另外兩種情況殘余誤差zui大值之間，將實(shí)時(shí)計(jì)算的每個(gè)殘余誤差和破損門(mén)限值進(jìn)行比較，就可以判斷出刀具的破損值。
本文采用的模擬破損方法只能采集到刀具破損前后的數(shù)據(jù)。從上面的介紹可以看出，自回歸算法可以識(shí)別刀具破損前后銑削扭矩的變化，所以模擬破損的實(shí)驗(yàn)方法有其合理性的依據(jù)。事實(shí)上，刀具破損瞬間能量的突然釋放勢(shì)必要求切削功率（功削扭矩）突然增大，這一點(diǎn)可以由偶然觀察到的刀具破損時(shí)的扭矩波形得以證實(shí)。所以可以推測(cè)，刀具自然破損時(shí)自回歸模型的殘余誤差輸出也將發(fā)生較大的變化。
ar算法用于刀具破損監(jiān)測(cè)需要解決的問(wèn)題有自回歸模型步長(zhǎng)因子和階數(shù)的確定，下面分別加以說(shuō)明。
3.2 自回歸模型步長(zhǎng)因子的確定
對(duì)于一個(gè)隨機(jī)過(guò)程來(lái)講，ar模型的參數(shù)φ是確定的（存在一個(gè)理論值），不會(huì)因輸入量的隨機(jī)變化而變化。銑削過(guò)程自回歸模型的參數(shù)φ無(wú)法直接計(jì)算出來(lái)，所以需要設(shè)初值為零，然后通過(guò)迭代的方法自適應(yīng)確定。φ從零到理論值的變化是一個(gè)收斂過(guò)程，當(dāng)參數(shù)收斂到理論值附近時(shí)，ar模型達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，參數(shù)將不再隨輸入量的變化而發(fā)生較大的變化，它只在很小的范圍內(nèi)波動(dòng)。
步長(zhǎng)因子μ就決定著φ的收斂速度。雖然使用zui小均方算法對(duì)ar模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的計(jì)算量很小，可以保證監(jiān)測(cè)的實(shí)時(shí)性，但zui小均方算法步長(zhǎng)因子μ的分布范圍非常廣。由實(shí)驗(yàn)得知，對(duì)于銑削扭矩的一階差分這一隨機(jī)過(guò)程來(lái)講，μ的范圍在0～700之間，這樣μ就較難確定。圖4表示當(dāng)μ＝50，200，400時(shí)一階ar模型參數(shù)的收斂情況。從圖中可以看出，當(dāng)μ值選取過(guò)小時(shí)（如μ＝50），收斂速度將非常慢，以至于一個(gè)切削過(guò)程結(jié)束了，參數(shù)還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒(méi)有收斂到它的理論值。如果參數(shù)沒(méi)有收斂到它的理論值，當(dāng)?shù)毒咂茡p時(shí)殘余誤差雖然也會(huì)有變化，但這一變化比參數(shù)收斂后殘余誤差的變化要小得多。也就是說(shuō)，沒(méi)有達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)的ar模型對(duì)干擾的反應(yīng)不夠靈敏，這樣就有可能識(shí)別不出刀具的破損。如果μ值太大（如μ＝800時(shí)），盡管ar模型參數(shù)的收斂速度很快，但模型的穩(wěn)定性也較差，很容易造成數(shù)據(jù)的發(fā)散（圖4中沒(méi)有表示出來(lái)）。只有選擇較合適的μ值（如μ＝400時(shí)），模型既保持較快的收斂速度（從圖中可以看出，在采集幾個(gè)數(shù)據(jù)后參數(shù)就收斂了），又不致引起模型參數(shù)的發(fā)散。由實(shí)驗(yàn)可以確定，μ取400左右較為合適。
圖4 步長(zhǎng)因子μ對(duì)ar（1）模型參數(shù)收斂的影響
3.3 自回歸模型階數(shù)的確定
從式（8）可以看出，模型階數(shù)p即代表著ar模型每次處理數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。確定階數(shù)要同時(shí)考慮以下兩個(gè)方面：
首先要考慮計(jì)算時(shí)間。階數(shù)越高，每次處理數(shù)據(jù)的時(shí)間越長(zhǎng)，選擇太高的階數(shù)會(huì)使運(yùn)算量（時(shí)間）增長(zhǎng)。由于現(xiàn)在計(jì)算機(jī)處理數(shù)據(jù)的速度越來(lái)越快，通過(guò)實(shí)驗(yàn)可以知道，在常規(guī)銑削速度范圍內(nèi)，即使選用30階ar模型仍可以做到實(shí)時(shí)性，所以計(jì)算時(shí)間的限制可以從輕考慮。
ar模型階數(shù)的確定主要是由切削過(guò)程決定的。概括地說(shuō)，對(duì)于同一隨機(jī)過(guò)程，階數(shù)越高，對(duì)干擾的反應(yīng)越敏感（即殘余誤差輸出越大），這樣識(shí)別破損的可能性也越大。但是，前面講過(guò)，切削過(guò)程中不但刀具破損會(huì)使切削扭矩發(fā)生變化，而且在某些特殊切削條件下切削扭矩波形也將發(fā)生變化，殘余誤差也將增大。這樣就產(chǎn)生了一個(gè)矛盾：從刀具破損識(shí)別的角度來(lái)看，要求ar模型對(duì)干擾的反應(yīng)越敏感越好，以便識(shí)別刀具的破損；但若刀具進(jìn)入特殊的切削狀態(tài)，則要求ar模型對(duì)干擾的反應(yīng)越遲鈍越好，以避免發(fā)生誤報(bào)。而合理選擇ar模型的階數(shù)可以協(xié)調(diào)這一矛盾。通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，在銑刀每轉(zhuǎn)采集60個(gè)數(shù)據(jù)的條件下，選用15階ar模型效果較好。 結(jié)論
4
本文研究了自回歸方法在銑削過(guò)程刀具破損監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用。首先對(duì)銑削過(guò)程切削扭矩的波形特征進(jìn)行了研究，在此基礎(chǔ)上建立了銑削過(guò)程的隨機(jī)自回歸模型，引入了zui小均方算法對(duì)自回歸模型進(jìn)行時(shí)變參數(shù)估計(jì)，以實(shí)驗(yàn)的方法研究了步長(zhǎng)因子的規(guī)律及模型階數(shù)的選取。
從上面的介紹可以看出，自回歸模型用于刀具破損也有其局限性，它并沒(méi)有從實(shí)質(zhì)上將刀具破損和特殊工況下的切削區(qū)別開(kāi)來(lái)，如果刀具沒(méi)有破損而相鄰兩轉(zhuǎn)之間切削扭矩變化大到一定程度時(shí)，監(jiān)測(cè)系統(tǒng)仍然會(huì)認(rèn)為刀具破損。