齒輪滾刀是加工外嚙合直齒和斜齒圓柱漸開(kāi)線齒輪zui常用的一種刀具。從理論上講，加工漸開(kāi)線齒輪的滾刀基本蝸桿應(yīng)該是漸開(kāi)線蝸桿，這樣的滾刀稱為漸開(kāi)線滾刀。漸開(kāi)線滾刀的側(cè)后刀面在滾刀軸剖面中的截形是曲線，這種滾刀在制造和測(cè)量時(shí)都比較困難（如不能用徑向鏟齒代替軸向鏟齒等），所以雖然它在理論上是正確的，但是實(shí)際生產(chǎn)中很少被采用。
被廣泛采用的是阿基米德基本蝸桿的滾刀，稱為阿基米德滾刀。這種滾刀側(cè)后刀面的軸向截形是直線，如果用它代替漸開(kāi)線滾刀切齒時(shí)，則切出的齒輪齒形不是漸開(kāi)線，因而在理論上造成了一定的齒形誤差，稱為齒輪滾刀的造形誤差。為了減小這種誤差，應(yīng)該使阿基米德滾刀側(cè)后刀面的軸向截形在分圓處與漸開(kāi)線滾刀側(cè)后刀面的軸向截形相切，即使如此，兩種滾刀除分圓處的其它點(diǎn)仍有齒形誤差δf存在。
為了進(jìn)一步弄清影響該誤差值的因素，可對(duì)其做如下的理論分析。 設(shè)cd 是漸開(kāi)線蝸桿的左側(cè)螺紋面上的一條直母線，其上任意點(diǎn)m的直角坐標(biāo)為（x, y, z），為討論問(wèn)題方便，引入柱面坐標(biāo)（x, ρ, θ），其中ρ是m點(diǎn)到x軸的距離，θ是由m點(diǎn)與x軸所決定的平面與xoy平面的夾角（θ=0時(shí)，cd與y軸垂直）。如果蝸桿的導(dǎo)程為p，基圓半徑為r，則m點(diǎn)沿蝸桿軸線方向的坐標(biāo)為: x=ac+abtanλ因?yàn)? ac= p （θ-αm）, cosαm= r , tanαm= √
ρ2-r2
2π ρ r
abtgλ=rtanαm·tanλ= p ·tanαm
2π
所以 x= p （θ+tanαm-αm）= p [θ+ √
ρ2-r2
-arccos r ]
2π 2π r ρ
因此，右旋漸開(kāi)線蝸桿螺紋左側(cè)面的方程為: x= p [θ+ √
ρ2-r2
-arccos r ]
2π r ρ
y=ρcosθ
z=ρsinθ
（1）
為了對(duì)兩種滾刀的軸向齒形誤差作理論分析，首先求出漸開(kāi)線蝸桿的軸向齒形曲線方程，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)， xoz平面（即θ=π/2）上的軸向齒形方程進(jìn)行討論。 由式（1）得出xoz平面上漸開(kāi)線蝸桿的軸向剖面齒形曲線l1的方程為 x= p [ π + √
ρ2-r2
-arccos r ]
2π 2 r ρ
z=ρ
（2）
即 x= p + p [ √
z2-r2
-arccos r ]
4 2π r z
（3）
l1在分圓柱面 { y=rcosθ 上的點(diǎn)是m（x1，y1，z1），其中: x1= p + p [ √
z2-r2
-arccos r ]
4 2π r z
，y1=0，z1=r。
z=rsinθ
由式（2） 可求得l1上任意一點(diǎn)處的切線斜率為 z'（x）= 2πrz
p √
z2-r2
在m 點(diǎn)處l1的切線斜率為 k= 2πrr
p √
r2-r2
過(guò)m點(diǎn)與l1相切的直線l0的方程為（l0的變量用x 、z 以區(qū)別l0 與l1上的點(diǎn)） z-z1=k（x-x1）即 z-r= 2πrr ×[x-（ p + p （ √
r2-r2
--arccos r ））]
p √
r2-r2
4 2π r r
x= p √
r2-r2
z+ p - p arccos r
2πrr 4 2π r
（4）
以l0為阿基米德蝸桿的左側(cè)螺旋面的直母線，則阿基米德蝸桿的軸向齒形直線與漸開(kāi)線蝸桿的軸向齒形曲線在m點(diǎn)處相切。 當(dāng)z與z取相同的值時(shí)，（x-x） 就是兩種滾刀基本蝸桿在軸向剖面中的齒形線在同一齒高上的誤差值δf。 δf=x=x= p + p （ √
z2-r2
-arccos r ）-（ p √
r2-r2
z+ p - p arccos r
4 2π r z 2πrr 4 2π r
即 δf= p （ √
r2-r2
-z √
r2-r2
+arccos r -arccos r
2π r rr r z
（5）
下面對(duì)δf的值進(jìn)一步分析。由z'（x） 還可進(jìn)一步求得 z（x）= -4π2r2z
p2（z2-r2）2
只要z>0，則有z（x）<0 ，因而曲線l1在z>0時(shí)是凸曲線。又由于l0與l1在m點(diǎn)相切， l0的斜率大于零，因而l1總在l0的右側(cè)，所以總有δf=x-x≥0。只有z=r時(shí)等號(hào)才成立?？梢郧蟪? （δf）'z= 1 （ √
r2z2-r2r2
- √
z2r2-z2r2
）
2πrrz
若p、r、r一定，僅當(dāng)z=r時(shí)，（δf）'z=0 ;當(dāng)z>r時(shí)， （δf）'z>0，δf是關(guān)于z的增函數(shù)， z越大，δf越大;當(dāng)z<r時(shí)，（δf）'zz<0，δf是關(guān)于z的減函數(shù)，z 越小，δf越大。由此可見(jiàn)，|z-r|越大，δf越大?？梢郧蟪? （δf）'z= p ×（ √
z2r2-2zrr2+r4
- √
z2r2-（z2r2+r2r2）+r4
）
2πr2 √
r2z2-r2r2
（δf）'z≥0 等號(hào)僅在z=r時(shí)成立，當(dāng)z、r、p一定時(shí)，δf是關(guān)于r的增函數(shù)，r越小，δf越小。 由式（5）還可直接看出，當(dāng)z、r、r一定時(shí)， p越小，即蝸桿的螺旋升角越小，δf越小。 由以上分析可知，對(duì)于被廣泛采用的阿基米德滾刀，為了減小其造形誤差，阿基米德滾刀的基本蝸桿的分圓柱螺旋升角盡量取小值。而且滾刀刀齒分圓柱處的誤差為零，而越到齒頂或齒根處時(shí)誤差值越大。